河岸选点的最短路径
初二上 · 轴对称 · 题目 03
轴对称线段最短题目
点 A、B 位于直线 l 的同侧，要在 l 上选一点 P，使 PA+PB 最小。已知 A 关于 l 的对称点为 A′，且 A′B=12。求最小值并说明作法。
题目示意图
把 A 关于直线 l 对称到 A′，折线变成直线
解答
作对称点
作 A 关于 l 的对称点 A′。任意 P∈l 都有：
PA=PA′
替换折线
PA+PB=PA′+PB
把折线拉直
连接 A′B，与 l 交于 P。此时 A′、P、B 共线。
PA′+PB=A′B=12
说明最小性
其他点 Q∈l 均满足 QA′+QB≥A′B，所以不会小于 12。
最小值为 12；最优点是 A′B 与 l 的交点。只用轴对称和两点之间线段最短。
解题复盘
为什么要作对称点
P 在对称轴 l 上，所以 PA=PA′。原来的折线路径 PA+PB 就转化为 PA′+PB，问题变成从 A′ 经 P 到 B 的最短路径。
容易出错的地方
只有 P 位于对称轴上时，PA=PA′ 才成立。最优点必须取直线 A′B 与 l 的交点，不能随意在 l 上选点。
结果怎样检查
根据两点之间线段最短，PA′+PB≥A′B=12；交点处三点共线，等号能够取得，因此 12 不只是下界，确实是最小值。